【簡介：】代數(shù)拓撲在物理中的應用一般都很淺，大多數(shù)情況只是使用到概念層面，很少用到代數(shù)拓撲深刻的定理。常見的概念有同倫群，同調(diào)群和上同調(diào)群。在場論中，這三個概念有各自常用的使用語

代數(shù)拓撲在物理中的應用一般都很淺，大多數(shù)情況只是使用到概念層面，很少用到代數(shù)拓撲深刻的定理。常見的概念有同倫群，同調(diào)群和上同調(diào)群。在場論中，這三個概念有各自常用的使用語境。

同倫群

：常見于刻畫規(guī)范場位形的拓撲結(jié)構(gòu)，最常見的就是刻畫球面、環(huán)面或者歐幾里得空間上的矢量叢的拓撲。比如渦旋、瞬子的等價類對應 和的矢量叢等價類，分別用 和來刻畫。纖維叢的同倫恰當序列也常用于計算一些比較難算的同倫群，比如的高維同倫群。又如上規(guī)范反常的存在性可以歸結(jié)為“無窮維規(guī)范變換群的基本群是否平凡”。

同調(diào)群

：同調(diào)群用得相對較少，用的時候也通常只用來表征目標流形有多少洞，或者對某些幾何對象進行分類討論。有了洞，就可以討論非平凡的拓撲荷（拓撲通量）。比如的，就可以討論磁單極子的整數(shù)磁通量，或者電荷慈磁荷量子化。利用奇異同調(diào)群與 Cech 上同調(diào)的關系，還可以用奇異同調(diào)群、Cech 上同調(diào)來分類流形上的線叢，或者更復雜的 gerbe（高級線叢）。Gerbe 在物理中出現(xiàn)在一般的 2d有 H-flux 的非線性 Sigma 模型，target space 受超對稱數(shù)量要求具有 Bi-hermitian 結(jié)構(gòu)，從而 target space 上定義了一個 gerbe。在2維拓撲非線性 Sigma 模型中，A-twist 的 BPS 位形是世界面到目標流形的全純映射。由于世界面可能是任意的黎曼曲面，比如球面，因此就有各種不同的拓撲不等價的映射?？坍嬤@些拓撲不等價的映射，就用映射所屬同調(diào)類。

上同調(diào)群

：物理中用得最多的代數(shù)拓撲對象。1）規(guī)范場中，刻畫相應矢量叢的拓撲通常是會用示性類，這些示性類都是空間流形上的上同調(diào)類。比如計算歐拉示性數(shù)用歐拉類，瞬子數(shù)用陳特性，渦旋數(shù)用第一陳類。2）2維拓撲 Sigma 模型中，B-twist 和 A-twist BPS 算符代數(shù)對應到目標流形的 de Rham 上同調(diào)，或者，超對稱算符，,變成外微分算子，Dolbeault 算符，BPS 算符的關聯(lián)函數(shù)變成目標流形上的量子 interseciton number。Mirror symmetry 則是聯(lián)系 Mirror-對偶的 Calabi-Yau 目標流形對應的 A-twist 和 B-twist 模型，兩個目標流形有對調(diào)的上同調(diào)群。3）許多時候物理問題需要研究某些算符的上同調(diào)群。最常見就是超對稱量子力學中超對稱算符的上同調(diào)群，這個上同調(diào)群的生成元與系統(tǒng)的基態(tài)（即的調(diào)和態(tài)）一一對應。算符的 Witten index 定義為復形的歐拉示性數(shù)，是超對稱物理中比較重要的數(shù)。

指標定理

：作為重要的計算工具，指標定理也出現(xiàn)在不少物理問題中（當然本質(zhì)上都是數(shù)學家早就熟知的數(shù)學問題）。1）比如計算某些帶拓撲荷的規(guī)范場位形的?？臻g，包括渦旋，瞬子，Seiberg-Witten 解，拓撲弦中黎曼曲面的復結(jié)構(gòu)模空間維度；2）計算各類反常，比如手征反常，規(guī)范反常使用 Dirac 算子的指標；3）有時某些算符的指標直接就是計算目標，比如 Witten index 4）有時需要計算算符的superdeterminant，可以找與之交換的微分算符 ，并通過計算的（等變）指標來獲得的波色、費米本征譜之間的不完全抵消關系，然后寫下superdeterminant